jueves, 18 de febrero de 2010

funciones discontinuas

La discontinuidad de una función puede ser clasificada en:

Discontinuidad { \color{Red} \left \{ \begin{array}{l} Evitable \\ Esencial { \color{PineGreen} \left \{ \begin{array}{l} De \; primera \; especie { \color{Blue} \left \{ \begin{array}{l} De \; salto \; finito \\ De \; salto \; infinito \end{array} \right . }\\ \\ De \; segunda \; especie \end{array} \right . } \\ \end{array} \right . }

Evitable

Cuando existe el \lim_{x \to a} f(x) = l con l \in \real pero no coincide con el valor de f (a) ya sea porque son distintos los valores o no existe f (a).

Ejemplo 1:
Dada f(x) = \frac {x^2-4} {x-2} no existe f(2) pero si existe
\lim_{x \to 2}f(x) = \frac {x^2-4} {x-2} = 4

Esencial

Cuando se produce algunas de las siguientes situaciones:

  1. Existen los límites laterales pero no coinciden.
  2. Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos. Ver asíntota.
  3. No existe alguno de los límites laterales o ambos.
De primera especie o de salto
Con salto finito

Cuando existe el límite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero no coinciden.

Signum.png
\lim_{x \to a^+} f(x) \ne \lim_{x \to a^-} f(x)
Ejemplo: La función signo
0 \\ 0, & \mbox{si }x = 0 \\ -1, & \mbox{si }x < src="http://upload.wikimedia.org/math/0/1/9/019522713ecbf65a0e8a9e9b44d3e5a9.png">
\lim_{x \to 0^-} \sgn(x) = -1
\lim_{x \to 0^+} \sgn(x) = 1

y además:

\sgn(0) = 0 \,
Con salto infinito (asíntota)

Cuando alguno de los límites laterales o ambos no es finito. Puede ser asintótica por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.

Función Continua 033.svg
\lim_{x \to a} f(x) = \infty
Ejemplo:
\lim_{x \to 0} \frac {1}{x} = \frac {1}{0} = \infty
De segunda especie
Función Continua 044.svg

Este tipo de discontinuidad se produce cuando no existe uno de los límites laterales, o ambos.

Ejemplo: la función Raíz cuadrada: y = \sqrt {x}
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